行列式（determinant）是由一个 n 阶方阵 A（n 行 n 列）按固定规则算出的一个数，记作 det(A) 或 |A|。它衡量方阵所代表的线性变换对面积/体积的缩放倍数，绝对值越大放缩越强，符号表示定向是否翻转；为 0 则表示变换把空间压扁、矩阵不可逆。
二阶行列式|a b; c d| = ad − bc，即主对角线乘积减副对角线乘积。例如 |1 2; 3 4| = 1·4 − 2·3 = −2。几何意义是以 (a,c)、(b,d) 两向量为邻边的平行四边形的有向面积。
三阶行列式（Sarrus 法则）对 [a b c; d e f; g h i]，det = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh：三条主对角线（左上→右下）乘积之和，减去三条副对角线（右上→左下）乘积之和。注意 Sarrus 只适用于三阶，四阶及以上必须用展开或消元。
n 阶：拉普拉斯（余子式）展开沿第一行展开：det(A) = Σⱼ a₁ⱼ · (−1)^(1+j) · M₁ⱼ，其中 M₁ⱼ 是划去第 1 行、第 j 列后剩下的 (n−1) 阶子式行列式，(−1)^(1+j)·M₁ⱼ 称为代数余子式 C₁ⱼ。这样把 n 阶逐层降为低阶。本工具结果区会把这几项逐一列出。
Bareiss 分数-free 消元（本工具算法）展开法项数随阶数阶乘增长，效率低。本工具改用Bareiss 分数-free 消元：把矩阵消成上三角，行列式等于对角线之积，且每一步除法对整数矩阵都保证整除、全程保持整数，因此结果为精确整数，不出现浮点误差。计算复杂度约 O(n³)，8 阶以内瞬时完成。
常用性质det(Aᵀ)=det(A)；交换两行变号；某行乘 k 则行列式乘 k，故 det(kA)=kⁿ·det(A)；有一行为 0 或两行成比例则 det=0； 把某行倍数加到另一行不改变行列式；det(AB)=det(A)·det(B)；三角矩阵行列式为对角线之积；可逆时 det(A⁻¹)=1/det(A)。
算例设 A = [6 1 1; 4 −2 5; 2 8 7]，按 Sarrus：6·(−2)·7 + 1·5·2 + 1·4·8 − 1·(−2)·2 − 1·4·7 − 6·5·8 = −84 + 10 + 32 + 4 − 28 − 240 = −306。因 −306 ≠ 0，故 A 可逆。
精度：全程高精度十进制运算（decimal.js，约 40 位有效数字），整数矩阵行列式为精确整数，小数元素除不尽时保留到所选小数位并标 ≈。